Immagina un hotel. Un hotel elegante, con un lungo corridoio e camere numerate: 1, 2, 3, 4… e così via, per sempre.

Benvenuto all’Hotel Infinito di Hilbert, un luogo dove la logica si piega e l’infinito gioca a sorprenderci. Questo curioso albergo non esiste nel mondo reale, ma vive nei pensieri dei matematici, nato dalla mente del grande logico tedesco David Hilbert. È un paradosso geniale che ci aiuta a capire quanto possa essere strano – e affascinante – l’infinito.

Tutte le stanze sono occupate… ma c’è posto per tutti!

Ecco la situazione: l’Hotel Infinito ha stanze numerate da 1 all’infinito. E tutte sono occupate. Non c’è una stanza libera.

Ora, arriva un nuovo ospite. “Mi dispiace,” penseresti, “non c’è posto.”
Ma no. Qui entra in gioco la magia dell’infinito.

Il direttore dell’hotel ha un’idea brillante: chiede a ogni ospite di spostarsi nella stanza successiva. L’ospite nella 1 va nella 2, quello nella 2 va nella 3, e così via.
In questo modo, la stanza 1 si libera. E voilà! Il nuovo arrivato può sistemarsi comodamente.

Sembra impossibile, vero? Eppure, funziona… nell’infinito.

Arriva un autobus con infiniti nuovi ospiti

Le cose si complicano. Ora arriva un autobus pieno di infiniti nuovi ospiti, ognuno con un numero: 1, 2, 3, 4…

Panico? Non all’Hotel Infinito!

Il direttore applica un’altra mossa geniale: chiede a ogni ospite già presente di spostarsi nella stanza col numero doppio (il 1 va nella 2, il 2 va nella 4, il 3 nella 6, ecc.). Così facendo, tutte le stanze con numeri dispari si liberano.

E indovina? Ci sono infiniti numeri dispari. Quindi c’è posto per tutti i nuovi ospiti.

Ma com’è possibile?

Questo paradosso ci mostra che infinito + 1 = infinito, ma anche che infinito + infinito = ancora infinito. È una di quelle cose che sembra assurda a prima vista, ma che funziona perfettamente nei mondi della matematica.

Ci fa capire che l’infinito non è un numero come gli altri. È un concetto, un’idea che rompe le regole dell’aritmetica a cui siamo abituati.

Una finestra sull’infinito

L’Hotel Infinito di Hilbert è una delle dimostrazioni più affascinanti del potere del pensiero astratto. È un gioco mentale, certo, ma anche uno specchio che ci mostra i limiti (e le meraviglie) della nostra logica.

Perché l’infinito non è solo grande. È strano. E in questo suo essere strano, ci fa sorridere, ci fa pensare e ci ricorda che il mondo – reale o immaginato – è pieno di stanze da esplorare.